Собственно о практическом применении фрактальных алгоритмов и пойдёт речь в данной статье. Фрактал-арт мы затрагивать не будем, о нём достаточно подробно написано в предыдущей статье.

Фрактальное сжатие изображений.

Первым и очевидным применением фрактальных алгоритмов стало так называемое фрактальное сжатие изображений. Фрактальное сжатие изображений - алгоритм сжатия изображений с потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. (Системы итерируемых функций или просто СИФ - представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое.) Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры - до 1000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе.

Основа метода фрактального кодирования - это обнаружение самоподобных участков в изображении. Впервые возможность применения теории систем итерируемых функций к проблеме сжатия изображения была исследована Майклом Барнсли (англ. Michael Barnsley и Аланом Слоуном (англ. Alan Sloan).

Майкл Барнсли.

Они запатентовали свою идею в 1990 и 1991 годах. Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций изображение представляется в более компактной форме. Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование: они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей.

Один шаг Машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной СИФ. Collage Theorem (один из принципов фрактального сжатия) гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой СИФ. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении.

Наиболее известны два изображения, полученных с помощью СИФ: треугольник Серпинского и папоротник Барнсли. Первое задается тремя, а второе - пятью аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Папоротник Барнсли (слева) и треугольник Серпинского (справа).

Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований.

В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.

Применение фракталов в медицине.

На данное время фракталы находят и вероятно будут находить применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д.

Примеры фракталоподобных структур в организме человека: бронхи, сосуды, мышцы.

Поэтому учёные задумались можно ли применять фрактальные алгоритмы для диагностики или лечения каких-либо заболеваний? Оказывается возможно. Например теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм. В последние годы в развитых странах, несмотря на очевидные успехи в разработке новых лабораторных и инструментальных методов диагностики и лечения сердечно-сосудистых заболеваний, продолжается их рост. Периоды биоритмов, и, в частности, сердечного ритма, длительностью порядка часа, суток и более, можно изучать традиционными методами гистограммного или спектрального анализа. Однако оценка хроноструктуры величины и ритмов фрактальной размерности, индексов Херста позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний.

Пример кардиограммы.

Также фракталы могут использоваться (пока на стадии успешных экспериментов) в обработке медицинских рентгеновских изображений.

Пример рентгеновского снимка.

Рентгеновские снимки обработанные с помощью фрактальных алгоритмов дают более качественную картинку а соответственно и более качественную диагностику!!

Еще одна область в медицине где активно могут применятся фракталы - это гастроэнтерология. До настоящего времени и зачастую по сей день для диагностики заболеваний ЖКТ используются зондовые методы, которые связаны с необходимостью введения различной толщины зондов, что неприятно как для больного, так и для медперсонала. Кроме того, подобная техника проведения исследований значительно сужает объем их применения ввиду невозможности использования у соматически тяжелых больных, у больных в раннем послеоперационном периоде и т.п. Именно этой причиной объясняется не прекращающийся интерес физиологов и клиницистов к изучению моторно-эвакуаторной деятельности желудка и кишечника, а также к разработке новых методов, позволяющих адекватно, не только качественно, но и количественно оценивать интенсивность и характер моторной активности различных отделов ЖКТ. В качестве дополнительных методов исследования МЭФ применяются методы, основанные на измерении электрической активности органов. Исследования биоэлектрической активности органов ЖКТ положили начало созданию нового метода исследования в медицине, получившего название электрогастроэнтерография. Электрогастроэнтерография - метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

Пример электрогастроэнтерограммы.

Он основан на регистрации изменений электрического потенциала от органов ЖКТ, то есть снятие электрогастроэнтерограмм (ЭГЭГ). Применение фрактального анализа к получаемым биоэлектрическим сигналам от органов, позволяет эффективно судить о моторной функции органов и ЖКТ и успешно диагностировать различные заболевания.

Также ещё необходимо упомянуть о недавнем открытии американских учёных о том, что если составить карты адгезии (адгезия (от лат. adhaesio - прилипание) в физике - сцепление поверхностей разнородных твёрдых и/или жидких тел) поверхностей нормальных и раковых клеток, то окажутся что эти карты имею разную фрактальную размерность. Возможно это открытие в будущем поможет открыть новые эффективные методы диагностики и лечения онкологических заболеваний.

Карты адгезии поверхностей раковых и нормальных клеток

Применение фракталов в естественных науках.

Применение фракталов в естественно-научных дисциплинах чрезвычайно огромно. Если описывать всё, то не хватит и целой книги. Поэтому остановимся на некоторых самых интересных аспектах.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.

Также фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, распределение которых очень часто происходит по фрактальному механизму. Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.

Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

В физике фракталы применяются ещё шире. Например в физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.

Пример твёрдого тела - кристаллы.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Турбулентность.

Применение фракталов в телекоммуникациях.

В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны – относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств. На изображении выше пример фрактальной антенны.

Также в сфере сетевых технологий было проведено множество исследований показывающих самоподобие траффика передаваемого по разного рода сетям. Особенно это касается речевых, аудио и видео сервисов. Поэтому сейчас ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия траффика передаваемого по сетям, с целью более эффективной передачи информации.

Фракталы как элементы визуализации и спецэффектов.

Фракталы притягивают и завораживают своей красотой и бесконечностью. Именно поэтому (но и не только) фракталы очень часто используют для создания различного рода визуализаций, видеоинсталляций, создания спецэффектов в компьютерной графике и т.д.

Начнём пожалуй с игр. Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Этот способ довольно эффективно зарекомендовал себя. Дело в том, что настоящие природные объекты имеют в основе своей фрактальную структуру. Взяв это на вооружение, программисты предприняли попытку создать компьютерные ландшафты на основе фрактальных алгоритмов. Наблюдая сегодняшнее многообразие игр, где можно наблюдать красивые природные ландшафты, можно сделать вывод, о том, что это им с успехом удалось. Более того создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

Моделирование ландшафта на основе фрактальных алгоритмов с помощью программы Fractal Landscapes.

Скриншот игры Minecraft.

Не обходится без фракталов и в кино. По сути в кино для создания различных фантастических пейзажей, как и в играх используются тот же принцип. Действительно, зачем каждый раз создавать новое дерево или гору, тратя на это кучу времени, когда всё это можно во много раз быстрее сделать с помощью компьютерных программ работающих на фрактальных алгоритмах. Интересный факт: в известном космическом хорроре Ридли Скотта "Чужой" в эпизоде когда команда спускается на поверхность планеты, монитор в корабле передаёт изображение поверхности планеты в виде сетки. Как раз таки это изображение и было создано при помощи фрактальной геометрии. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д.

Теперь немного затронем тему фрактальной анимации. Фрактальные изображения, созданные в различных генераторах необычайно красивы. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище. В первую очередь здесь стоит упомянуть о ресурсе Electric sheep. Electric sheep - ресурс использующий распределённые вычисления для создания фрактальной анимации основанной на алгоритме fractal flame (разработан Скотом Дрейвсом). Проще говоря на ваш компьютер устанавливается программное обеспечение, которое использует вашу машину для вычисления и рендера фрактальной анимации, одновременно с этим загружая и демонстрируя вам уже готовую фрактальную анимацию в виде так называемых "живых" обоев. При этом эти самые обои сохраняются на компьютере в определённой папке и их можно оттуда вытащить, чтобы затем использовать для своих целей, например в видеомонтаже (правда длина роликов коротковата - 5 секунд). Но имея в своём распоряжении программу Апофизис и скрипт к ней Apophymator, вы сможете без особого труда создавать свою анимацию (благо уроков по этой теме в сети множество) сколь угодно длинную, главное чтобы ваша машина была достаточно мощной.

Скриншоты анимации Electric sheep:

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют и виджеи в своих видеосетах. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки. Для этого используются так называемые программы виджеинга (например Resolume). Примеры фрактальной анимации анимации из программы Resolume:

Фрактальную анимацию в качестве визуализации используют разработчики программ напрямую не относящиеся к фракталогенераторам. К примеру хорошо известный проигрыватель Winamp имеет в своём наборе большое количество визуализаций (плагин milkdrop) в которых явно прослеживаются элементы фракталов (например анимированное множество Жюлиа). Скриншоты визуализаций в плагине milkdrop для проигрывателя Winamp:

Итак, даже проведя сей небольшой обзор, можно с уверенностью сказать об огромном практическом применении фракталов и фрактальных алгоритмов на сегодняшний день. Спектр областей где применяются фракталы очень обширен. И наверняка в ближайшем обозримом будущем, перечень областей где будут применятся фракталы будет только пополнятся!!!

Оригинал статьи можно прочесть в мартовском номере журнала Компьюарт.

1. Фракталы и история возникновения метода фрактального сжатия

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» (fractus – состоящий из фрагментов, лат.) были предложены математиком Б. Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии связывают с выходом в 1977 г. книги Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой объединены в единую систему научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в этой области (Пуанкаре, Жюлиа, Кантор и др.).

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всём фрактале.

С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные, и когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы.

Существует большое разнообразие фракталов. Потенциально наиболее полезным видом фракталов являются фракталы на основе системы итеративных функций (Iterated Function System – IFS). Метод IFS применительно к построению фрактальных изображений, изобретённый большим их знатоком Майклом Барнсли (Michael Barnsley) и его коллегами из Технологического института шт. Джорджия (Georgia Institute of Technology), базируется на самоподобии элементов изображения и заключается в моделировании рисунка несколькими меньшими фрагментами его самого. Специальные уравнения позволяют переносить, поворачивать и изменять масштаб участков изображения; таким образом, эти участки служат компоновочными блоками остальной части картины.

Одним из наиболее поразительных (и знаменитых) IFS-изображений является чёрный папоротник, в котором каждый лист в действительности представляет собой миниатюрный вариант самого папоротника (см. рис.). Несмотря на то, что картинка создана компьютером методом аффинных преобразований, папоротник выглядит совершенно как настоящий. Выдвинуто предположение, что природа при кодировании генетической структуры растений и деревьев пользуется чем-то близким к методу IFS-фракталов.

IFS-фракталы имеют одно вполне реальное и полезное применение: с их помощью можно сжимать большие растровые изображения до долей их нормальных размеров. Этот утверждение следует из теоремы Банаха о сжимающих преобразованиях (также известной как Collage Theorem) и является результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли в области IFS. Вооружившись этим выводом, он ушёл из института, запатентовал своё открытие и основал компанию Iterated Systems Incorporated. О своём достижении он рассказал миру в журнале Byte за январь 1988 г. Однако там отсутствовали какие-либо сведения о решении обратной задачи: как по заданному изображению найти аффинные преобразования. К тому моменту у этой задачи не было даже намёка на решение. В статье Барнсли было показано несколько реалистичных фрактальных изображений, но все они были созданы вручную.

В идеале хотелось бы уметь находить для любого изображения систему аффинных преобразований (IFSM), воспроизводящую изображение с заданной точностью. Однако решение находилось немного в стороне. Первым нашёл его именно студент Барнсли, Арно Жакан (Arnaud Jacquin). Предложенный метод получил название «Система итерируемых кусочно-определённых функций» (Partitioned Iterated Function System – PIFS). Согласно этой схеме, отдельные части изображения подобны не всему изображению, а только его частям.

2. Математические основы фрактального сжатия

Итак, рассмотрим математическое обоснование возможности фрактального сжатия.

Есть отображение , где – множество всех возможных изображений. W является объединением отображений w i :

где R – изображение, а d i – какие-то (возможно, перекрывающиеся) области изображения D . Каждое преобразование w i переводит d i в r i . Таким образом:

Будет логично представить изображение в виде функции двух переменных f (x, y) . На множестве всех таких функций введём метрику (расстояние между изображениями), например, таким образом:

Согласно теореме Банаха, существует определённый класс отображений, для которых существует константа c < 1 такая, что для любых изображений f и g выполняется неравенство

Такие отображения называются сжимающими , и для них справедливо следующее утверждение:

Если к какому-то изображению F 0 мы начнём многократно применять отображение W таким образом, что то в пределе, при i , стремящемся к бесконечности, мы получим одно и то же изображение вне зависимости от того, какое изображение мы взяли в качестве F 0 :

Это конечное изображение F называют аттрактором , или неподвижной точкой отображения W . Также известно, что если преобразования w i являются сжимающими, то их объединение W тоже является сжимающим.

3. Типовая схема фрактального сжатия

С учётом вышесказанного, схема компрессии выглядит так: изображение R разбивают на кусочки r i , называемые ранговыми областями . Далее для каждой области r i находят область d i и преобразование w i такие, что выполняются следующие условия:

1. d i по размерам больше r i .
2. w i (r i) имеет ту же форму, размеры и положение, что и r i .
3. Коэффициент u преобразования w i должен быть меньше единицы.
4. Значение должно быть как можно меньше.

Первые три условия означают, что отображение w i будет сжимающим. А в силу четвёртого условия кодируемое изображение R и его образ W (R) будут похожи друг на друга. В идеале R = W (R) . А это означает, что наше изображение R и будет являться неподвижной точкой W . Именно здесь используется подобие различных частей изображения (отсюда и название – «фрактальная компрессия» ). Как оказалось, практически все реальные изображения содержат такие похожие друг на друга, с точностью до аффинного преобразования, части.

Таким образом, для компрессии изображения W нужно:

1. Разбить изображение на ранговые области r i (непересекающиеся области, покрывающие все изображение).
2. Для каждой ранговой области r i найти область d i (называемую доменной ), и отображение w i , с указанными выше свойствами.
3. Запомнить коэффициенты аффинных преобразований W , положения доменных областей d i , а также разбиение изображения на домены.

Соответственно, для декомпрессии изображения нужно будет:

1. Создать какое-то (любое) начальное изображение R 0 .
2. Многократно применить к нему отображение W (объединение w i ).
3. Так как отображение W сжимающее, то в результате, после достаточного количества итераций, изображение придёт к аттрактору и перестанет меняться. Аттрактор и является нашим исходным изображением. Декомпрессия завершена.

Пусть дано изображение M x N точек (где M и N кратны 8), 256 градаций серого. Ранговые и доменные области будем брать квадратными. Исходное изображение разобьём на ранговые области размером 8 х 8 точек. Доменные области будем искать размером 16 х 16 точек путём перебора всех возможных положений. Существует всего 8 аффинных преобразований, переводящих квадрат в квадрат (повороты на 0°, 90°, 180°, 270°, зеркальные отражения относительно центральной горизонтали, центральной вертикали, от главной и побочной диагоналей). Осталось найти только коэффициенты для преобразования цвета. Но значения u и v (контрастности и яркости) можно легко найти аналитически.

Если есть две последовательности значений цвета пикселов a 1 , a 2 , …, a N (доменной области) и b 1 , b 2 , …, b N (ранговой области), то можно минимизировать среднеквадратичное отклонение цвета пикселов, представляющее собой вариант метрики различия изображений:

Для этого достаточно приравнять частные производные R по u и по v к нулю, и решить уравнение относительно u и v . Получатся такие выражения:

при этом, если

Итак, какие же данные необходимо хранить в результате. Сетка разбиения на ранговые области постоянная для всех изображений, её хранить не надо. Остаётся положение ранговых областей (верхнего левого угла), номер преобразования и коэффициенты яркости и контрастности.

4. Оценка коэффициента сжатия и вычислительных затрат

Размер данных для полного определения ранговой области рассчитывается по формуле:

где X – количество бит, необходимых для хранения координат нижнего левого угла домена, T – количество бит, необходимых для хранения типа аффинного преобразования, U и V – для хранения коэффициентов контраста и яркости.

где Nb и Mb – количество бит, необходимых для хранения каждой из координат, рассчитываются по следующим формулам:

Здесь CEIL – функция округления до максимального целого, Md и Nd – количество доменов, умещающихся по горизонтали и вертикали, которые рассчитываются по формулам:

где V и H – вертикальный и горизонтальный размеры изображения, Size – размер доменного блока, Step – шаг поиска доменной области.

Для хранения преобразования T необходимо 3 бита.

Для хранения U и V необходимо 9 и 7 бит соответственно.

Для примера возьмём изображение размером 256 x 256 пикселей, и будем исследовать доменную область с шагом 4 пикселя.

Nd = Md = (256 - 8 + 1) / 4 = 62

Nb = Mb = CEIL (log 2 62) = 6

Z = 12 + 3 + 6 + 6 = 27

Коэффициент сжатия S составляет

S = (8 * 8 * 8) / 27 = 19

Коэффициент сжатия не так велик, как хотелось бы, но и параметры сжатия далеко не оптимальны, и коэффициент может увеличиваться в разы.

А теперь оценим вычислительную сложность данного алгоритма. На этапе компрессии мы должны перебрать все доменные области – 1 024 штуки, для каждой – все ранговые – 58 081 штука (при шаге 1), а для каждой из них, в свою очередь, – все 8 преобразований. Итого получается 1 024 х 58 081 х 8 = 475 799 552 действия. При этом эти действия не тривиальны и включают несколько матричных операций, которые, в свою очередь, включают операции умножения и деления чисел с плавающей точкой.

К сожалению, даже на современном ПК (а именно для таких машин хотелось реализовать алгоритм) понадобится недопустимо много времени для того, чтобы сжать изображение размером всего 256 х 256 пикселов. Очевидно, что рассмотренный алгоритм нуждается в оптимизации.

5. Оптимизация алгоритма компрессии

Алгоритм нуждается в оптимизации по нескольким направлениям: по скорости, по качеству получаемого изображения, по степени компрессии.

Для снижения вычислительных затрат можно предпринять следующие меры:

1. Исследовать доменную область не полностью, а с некоторым шагом. Это также позволит увеличить степень сжатия, но скажется на качестве изображения.
2. Искать не лучшую доменную область, а удовлетворяющую некоторому E . Хотя это может значительно увеличить скорость сжатия, но такой приём так же может значительно снизить качество результирующего изображения. В данном случае качество в значительной степени зависит от адекватности метрики различия между изображениями.
3. При поиске доменной области подвергать преобразованию не доменную область, а ранговую. Для этого удобно хранить 8 вариантов ранговых областей с различными преобразованиями. При этом в результирующий файл нужно записать обратное преобразование. Для всех преобразований, кроме двух, обратным является само это преобразование. Для поворота на 90° и 270° необходимо записать поворот на 270° и 90° соответственно. Это значительно сократит вычислительные затраты, но также значительно увеличатся затраты оперативной памяти.
4. Для поиска доменной области можно использовать не перебор, а какой-либо из алгоритмов условной нелинейной глобальной оптимизации, такой, как алгоритм моделирования отжига или генетический алгоритм. В этом случае будет всего три варьируемых параметра (координаты доменной области и номер аффинного преобразования), а целевой функцией – среднеквадратичное отклонение доменной области от ранговой.

Для улучшения качества: в случае необнаружения доменной области, удовлетворяющей заданному E , ранговую область можно разбить на 4 подобласти и произвести поиск домена для каждой из них. Это можно делать и дальше рекурсивно, до достижения некоторого минимального размера либо единичного пиксела. Но это увеличит вычислительные затраты и снизит коэффициент сжатия.

Для увеличения коэффициента компрессии можно идентифицировать однотонные блоки. Однотонным блоком будем называть ранговую область, у которой среднеквадратичное отклонение от собственного среднего значения не превышает некоторого E" . При этом в выходной файл будет записана только средняя яркость точки, за счёт чего будет достигнуто сжатие 1 к 64 (для ранговых областей размером 8).

6. Реализация

В данной статье описываеться лишь простейший вариант алгоритма фрактального сжатия. Майкл Барнслн и Алан Слоун нашли метод решения данной задачи, который действует в отношении любого растрового изображения, даже если в нём не заметны очевидные элементы самоподобия. Все подробности этого метода не обнародованы, но то обстоятельство, что пакет Microsoft Encarta использует библиотеку сжатия Барнсли, служит достаточным свидетельством в пользу его эффективности и обшей применимости к изображениям всех типов.

О методе Барнсли-Слоуна нам известно лишь то, что с помощью стандартных приёмов обработки изображений (кстати, описание многих из них Вы так же можете найти на этом сайте), таких, как выделение краёв и анализ текстурных вариаций, изображение делится на сегменты нерегулярной формы. Затем выполняется ряд преобразований, определяющих изображение как объединение этих сегментов, и преобразования записываются в виде IFS-наборов. Посредством итерационного процесса, подобного тому, который использовался при построении изображения папоротника, с поразительной точностью осуществляется реконструкция изображения. Число аффинных преобразований не фиксируется на 8; в некоторых кодированных изображениях может использоваться 100 или более афинных преобразований.

Я, в свою очередь, могу представить вариант реализации описанного выше алгоритма, который не отличаеться ни скоростью, ни высоким качеством, но тем не менее может служить несложным средством исследования. В архиве.rar, доступном для скачивания , также представлены исходные тексты.

Более совершенный вариант реализации Вы можете найти на сайте

В декабре 1992 года, перед самым Рождеством, компания Microsoft выпустила свой новый компакт-диск Microsoft Encarta. С тех пор эта мультимедиа-энциклопедия, содержащая информацию о животных, цветах, деревьях и живописных местах, не покидает списки наиболее популярных энциклопедий на компакт-дисках. В недавнем опросе Microsoft Encarta опять заняла первое место, опередив ближайшего конкурента - Комптоновскую мультимедиа-энциклопедию. Причина подобной популярности кроется в удобстве использования, высоком качестве статей и, главное, в большом количестве материалов. На диск записано 7 часов звука, 100 анимационных роликов, примерно 800 масштабируемых карт, а также 7000 качественных фотографий. И все это - на одном диске! Напомним, что обычный компакт-диск в 650 Мбайт без использования компрессии может содержать либо 56 минут качественного звука, либо 1 час видео разрешения с разрешением 320х200 в формате MPEG-1, либо 700 полноцветных изображений размером 640х480.

Чтобы разместить больше информации, необходимы достаточно эффективные алгоритмы архивации. Мы не будем останавливаться на методах архивации для видео и звука. Речь пойдет о новом перспективном алгоритме - фрактальном сжатии графической информации.

Когда в 1991 году впервые была опубликована информация о возможностях фрактального сжатия, она наделала много шуму. Майкл Барнсли, один из разработчиков алгоритма, утверждал, что разработан способ нахождения коэффициентов фрактала, сколь угодно близкого к исходной картинке.

Фракталы, эти красивые образы динамических систем, ранее использовались в машинной графике в основном для построения изображений неба, листьев, гор, травы. Красивое и, что важнее, достоверно имитирующее природный объект изображение могло быть задано всего несколькими коэффициентами. Неудивительно, что идея использовать фракталы при сжатии возникала и раньше, но считалось практически невозможным построить соответствующий алгоритм, который подбирал бы коэффициенты за приемлемое время.

Итак, в 1991 году такой алгоритм был найден. Кроме того, в дальнейших его статьях декларировался ряд уникальных возможностей новой технологии. Так, фрактальный архиватор позволяет, например, при распаковке произвольно менять разрешение (размеры) изображения без появления эффекта зернистости. Более того, он распаковывает гораздо быстрее, чем ближайший конкурент JPEG , и не только статическую графику, но и видео. В качестве примера приводилась программа, показывающая на машине с процессором i386/33 МГц цветной видеофильм с частотой 20 кадров в секунду без всякой аппаратной поддержки. В отличие от JPEG, в алгоритм изначально заложена возможность управлять степенью потерь на участках с максимальными потерями качества. Коэффициент сжатия изображений в целом примерно как у JPEG, но на некоторых реальных картинках достигалось сжатие в 10000 (!) раз.

Звучит это более чем внушительно, поэтому необходимо спокойно разобраться с преимуществами, которые обещает фрактальная компрессия, а также с возможными неприятными сторонами этого алгоритма.

История фрактального сжатия

Рождение фрактальной геометрии обычно связывают с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Одна из основных идей книги заключалась в том, что средствами традиционной геометрии (то есть используя линии и поверхности), чрезвычайно сложно представить природные объекты. Фрактальная геометрия задает их очень просто.

Четыре года спустя появилась статья Майкла Барнсли и Стефана Демко, в которой приводилась уже достаточно стройная теория IFS. В 1987 году Барнсли основал Iterated Systems, компанию, основной деятельностью которой является создание новых алгоритмов и ПО с использованием фракталов.

Всего через год, в 1988 году, он выпустил фундаментальный труд "Фракталы повсюду". Помимо описания IFS, в ней был получен результат, известный сейчас как Collage Theorem, который лежит в основе математического обоснования идеи фрактальной компрессии.

Если построение изображений с помощью фрактальной математики можно назвать прямой задачей, то построение по изображению IFS - это обратная задача. Довольно долго она считалась неразрешимой, однако Барнсли, используя Collage Theorem, построил соответствующий алгоритм. (В 1990 и 1991 годах эта идея была защищена патентами.) Если коэффициенты занимают меньше места, чем исходное изображение, то алгоритм является алгоритмом архивации.

Первая статья об успехах Барнсли в области компрессии появилась в журнале BYTE в январе 1988 года. В ней не описывалось решение обратной задачи, но приводилось несколько изображений, сжатых с коэффициентом 1:10000, что было совершенно ошеломительно. Но практически сразу было отмечено, что несмотря на броские названия ("Темный лес", "Побережье Монтере", "Поле подсолнухов") изображения в действительности имели искусственную природу. Это, вызвало массу скептических замечаний, подогреваемых еще и заявлением Барнсли о том, что "среднее изображение требует для сжатия порядка 100 часов работы на мощной двухпроцессорной рабочей станции, причем с участием человека".

Отношение к новому методу изменилось в 1992 году, когда Арнауд Джеквин, один из сотрудников Барнсли, при защите диссертации описал практический алгоритм и опубликовал его. Этот алгоритм был крайне медленным и не претендовал на компрессию в 10000 раз (полноцветное 24-разрядное изображение с его помощью могло быть сжато без существенных потерь с коэффициентом 1:8 - 1:50); но его несомненным достоинством было то, что вмешательство человека удалось полностью исключить. Сегодня все известные программы фрактальной компрессии базируются на алгоритме Джеквина. В 1993 году вышел первый коммерческий продукт компании Iterated Systems. Ему было посвящено достаточно много публикаций, но о коммерческом успехе речь не шла, продукт был достаточно "сырой", компания не предпринимала никаких рекламных шагов, и приобрести программу было тяжело.

В 1994 году Ювал Фишер были предоставил во всеобщее пользование исходные тексты исследовательской программы, в которой использовалось разложение изображения в квадродерево и были реализованы алгоритмы оптимизации поиска. Позднее появилось еще несколько исследовательских проектов, которые в качестве начального варианта программы использовали программу Фишера.

В июле 1995 года в Тронхейме (Швеция) состоялась первая школа-конференция, посвященная фрактальной компрессии. Таким образом, многие важные события в области фрактальной компрессии произошли за последние три года: алгоритм только-только начинает развиваться.

Идея

Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций изображение представляется в более компактной форме. Прежде чем рассматривать процесс архивации, разберем, как IFS строит изображение.

Строго говоря, IFS - это набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (x координата, у координата, яркость).

Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей.

Одна шаг Машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной IFS. Collage Theorem гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении.

Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS треугольник Серпинского и папоротник Барнсли Первое задается тремя, а второе - питью аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований.

В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.

Оценка потерь и способы их регулирования

До сих пор мы не затронули несколько важных вопросов. Например, что делать, если алгоритм не может подобрать для какого-либо фрагмента изображения подобный ему? Достаточно очевидное решение - разбить этот фрагмент на более мелкие и попытаться поискать для них. Однако понятно, что процедуру эту нельзя повторять до бесконечности, иначе количество необходимых преобразований станет так велико, что алгоритм перестанет быть алгоритмом компрессии. Следовательно, допускаются потери в какой-то части изображения.

Для фрактального алгоритма компрессии, как и для других алгоритмов сжатия с потерями, очень важны механизмы, с помощью которых можно будет регулировать степень сжатия и степень потерь. К настоящему времени разработан достаточно большой набор таких методов. Во-первых, можно ограничить количество преобразований, заведомо обеспечив степень сжатия не ниже фиксированной величины. Во-вторых, можно потребовать, чтобы в ситуации, когда разница между обрабатываемым фрагментом и наилучшим его приближением будет выше определенного порогового значения, этот фрагмент дробился обязательно (для него обязательно заводится несколько линз). В-третьих, можно запретить дробить фрагменты размером меньше, допустим, четырех точек. Изменяя пороговые значения и приоритет этих условий, можно очень гибко управлять коэффициентом компрессии изображения: от побитного соответствия, до любой степени сжатия.

Возможности масштабирования

Итак, мы выяснили, что IFS задает фрактальную структуру, сколь угодно близкую к нашему изображению. При внимательном рассмотрении процесса построения изображения с ее помощью становится понятно, что восстанавливаемое изображение может иметь любое (!) разрешение. В самом деле, возвращаясь к аналогии с Фотокопировальной Машиной, можно сказать, что нам не важно до какой сетки растра будет огрубляться установившееся неподвижное изображение. Ведь Машина работает вообще с непрерывными экранами.

На этапе архивации проводится распознавание изображения, и в виде коэффициентов хранится уже не растровая информация, а информация о структуре самого изображения. Именно это и позволяет при развертывании увеличивать его в несколько раз. Особенно впечатляют примеры, в которых при увеличении изображений природных объектов проявляются новые детали, действительно этим объектам присущие (например, когда при увеличении фотографии скалы она приобретает новые, более мелкие неровности).

Но не все так гладко, как может показаться. Если изображение однородно (на фотографии только скала), то при увеличении получаются отличные результаты, однако, если сжимать изображение натюрморта, то предсказать, какие новые фрактальные структуры возникнут, очень сложно. Впрочем, вдвое-втрое можно увеличить практически любое изображение, при архивации которого задавалась небольшая степень потерь.

Масштабирование - уникальная особенность, присущая фрактальной компрессии. Со временем ее, видимо, будут активно использовать как в специальных алгоритмах масштабирования, так и во многих приложениях. Действительно, этого требует концепция "приложение в окне". Было бы неплохо, если бы изображение, показываемое в окне 100х100, хорошо смотрелось при увеличении на полный экран - 1024х768.

Сравнение с JPEG

Сегодня наиболее распространенным алгоритмом архивации графики является JPEG . Сравним его с фрактальной компрессией.

Во-первых, заметим, что и тот, и другой алгоритм оперируют 8-битными (в градациях серого) и 24-битными полноцветными изображениями. Оба являются алгоритмами сжатия с потерями и обеспечивают близкие коэффициенты архивации. И у фрактального алгоритма, и у JPEG существует возможность увеличить степень сжатия за счет увеличения потерь. Кроме того, оба алгоритма очень хорошо распараллеливаются.

Различия начинаются, если мы рассмотрим время, необходимое алгоритмам для архивации/разархивации. Так, фрактальный алгоритм сжимает в сотни и даже в тысячи раз дольше, чем JPEG . Распаковка изображения, наоборот, произойдет в 5-10 раз быстрее. Поэтому, если изображение будет сжато только один раз, а передано по сети и распаковано множество раз, то выгодней использовать фрактальный алгоритм.

1. Фракталы и история возникновения метода фрактального сжатия

В декабре 1992 года, перед самым Рождеством, компания Microsoft выпустила свой новый компакт-диск Microsoft Encarta. С тех пор эта мультимедиа-энциклопедия, содержащая информацию о животных, цветах, деревьях и живописных местах, не покидает списки наиболее популярных энциклопедий на компакт-дисках. В недавнем опросе Microsoft Encarta опять заняла первое место, опередив ближайшего конкурента - Комптоновскую мультимедиа-энциклопедию. Причина подобной популярности кроется в удобстве использования, высоком качестве статей и, главное, в большом количестве материалов. На диск записано 7 часов звука, 100 анимационных роликов, примерно 800 масштабируемых карт, а также 7000.качественных фотографий. И все это - на одном диске! Напомним, что обычный компакт-диск в 650 Мбайт без использования компрессии может содержать либо 56 минут качественного звука, либо 1 час видео разрешения с разрешением 320х200 в формате MPEG-1, либо 700 полноцветных изображений размером 640х480. Чтобы разместить больше информации, необходимы достаточно эффективные алгоритмы архивации. Мы не будем останавливаться на методах архивации для видео и звука. Речь пойдет о новом перспективном алгоритме - фрактальном сжатии графической информации.

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» (fractus - состоящий из фрагментов, лат.) были предложены математиком Б. Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии обычно связывают с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Одна из основных идей книги заключалась в том, что средствами традиционной геометрии (то есть используя линии и поверхности), чрезвычайно сложно представить природные объекты. Фрактальная геометрия задает их очень просто.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всём фрактале. Фракталы, эти красивые образы динамических систем, ранее использовались в машинной графике в основном для построения изображений неба, листьев, гор, травы. Красивое и, что важнее, достоверно имитирующее природный объект изображение могло быть задано всего несколькими коэффициентами.

Существует большое разнообразие фракталов. Потенциально наиболее полезным видом фракталов являются фракталы на основе системы итеративных функций (Iterated Function System - IFS) . Метод IFS применительно к построению фрактальных изображений, изобретённый большим их знатоком Майклом Барнсли (Michael Barnsley) и его коллегами из Технологического института шт. Джорджия (Georgia Institute of Technology) , базируется на самоподобии элементов изображения и заключается в моделировании рисунка несколькими меньшими фрагментами его самого. Специальные уравнения позволяют переносить, поворачивать и изменять масштаб участков изображения; таким образом, эти участки служат компоновочными блоками остальной части картины.

Одним из наиболее поразительных (и знаменитых) IFS -изображений является чёрный папоротник, в котором каждый лист в действительности представляет собой миниатюрный вариант самого папоротника (см. рис.). Несмотря на то, что картинка создана компьютером методом аффинных преобразований, папоротник выглядит совершенно как настоящий. Выдвинуто предположение, что природа при кодировании генетической структуры растений и деревьев пользуется чем-то близким к методу IFS -фракталов.

IFS -фракталы имеют одно вполне реальное и полезное применение: с их помощью можно сжимать большие растровые изображения до долей их нормальных размеров. Этот утверждение следует из теоремы Банаха о сжимающих преобразованиях (также известной как Collage Theorem ) и является результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли в области IFS . Вооружившись этим выводом, он ушёл из института, запатентовал свое открытие и основал компанию Iterated Systems Incorporated . О своём достижении он рассказал миру в журнале Byte за январь 1988 г. Однако там отсутствовали какие-либо сведения о решении обратной задачи: как по заданному изображению найти аффинные преобразования. К тому моменту у этой задачи не было даже намёка на решение. В статье Барнсли было показано несколько реалистичных фрактальных изображений, но все они были созданы вручную.

В идеале хотелось бы уметь находить для любого изображения систему аффинных преобразований (IFSM) , воспроизводящую изображение с заданной точностью. Однако решение находилось немного в стороне. Первым нашёл его именно студент Барнсли, Арно Жакан (Arnaud Jacquin) . Предложенный метод получил название «Система итерируемых кусочно-определённых функций» (Partitioned Iterated Function System - PIFS) . Согласно этой схеме, отдельные части изображения подобны не всему изображению, а только его частям.

2. Математические основы фрактального сжатия

Фрактальные методы сжатия позволяют сжать информацию в 10 000 раз. Все известные программы фрактальной компрессии базируются на алгоритме Джеквина - сотрудника Барнсли, который в 1992 году при защите диссертации описал практический алгоритм фрактального сжатия. Несомненным достоинством работы было то, что вмешательство человека в процесс сжатия удалось полностью исключить.

Рассмотрим механизм фрактального сжатия данных. Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций изображение представляется в более компактной форме. Прежде чем рассматривать процесс архивации, разберем, как IFS строит изображение. Строго говоря, IFS - это набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (x координата, у координата, яркость). Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей. Одна шаг Машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной IFS. Collage Theorem гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении. Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS треугольник Серпинского и папоротник Барнсли Первое задается тремя, а второе - питью аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт. Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований. В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.

Итак, рассмотрим математическое обоснование возможности фрактального сжатия.

Есть отображение, где - множество всех возможных изображений. W является объединением отображений w i :

Такие отображения называются сжимающими , и для них справедливо следующее утверждение:

Если к какому-то изображению F 0 мы начнём многократно применять отображение W таким образом, что

Это конечное изображение F называют аттрактором , или неподвижной точкой отображения W . Также известно, что если преобразования w i являются сжимающими, то их объединение W тоже является сжимающим.

3. Типовая схема фрактального сжатия

С учётом вышесказанного, схема компрессии выглядит так: изображение R разбивают на кусочки r i , называемые ранговыми областями . Далее для каждой области r i находят область d i и преобразование w i такие, что выполняются следующие условия:

1. d i по размерам больше r i .

2. w i (r i ) имеет ту же форму, размеры и положение, что и r i .

3. Коэффициент u преобразования w i должен быть меньше единицы.

4. Значение должно быть как можно меньше.

Первые три условия означают, что отображение w i будет сжимающим. А в силу четвёртого условия кодируемое изображение R и его образ W (R) будут похожи друг на друга. В идеале R = W (R) . А это означает, что наше изображение R и будет являться неподвижной точкой W . Именно здесь используется подобие различных частей изображения (отсюда и название - «фрактальная компрессия» ). Как оказалось, практически все реальные изображения содержат такие похожие друг на друга, с точностью до аффинного преобразования, части.

Таким образом, для компрессии изображения W нужно:

1. Разбить изображение на ранговые области r i (непересекающиеся области, покрывающие все изображение).

2. Для каждой ранговой области r i найти область d i (называемую доменной ), и отображение w i , с указанными выше свойствами.

3. Запомнить коэффициенты аффинных преобразований W , положения доменных областей d i , а также разбиение изображения на домены.

Соответственно, для декомпрессии изображения нужно будет:

1. Создать какое-то (любое) начальное изображение R 0 .

2. Многократно применить к нему отображение W (объединение w i ).

3. Так как отображение W сжимающее, то в результате, после достаточного количества итераций, изображение придёт к аттрактору и перестанет меняться. Аттрактор и является нашим исходным изображением. Декомпрессия завершена.

Именно это и позволяет при развертывании увеличивать его в несколько раз. Особенно впечатляют примеры, в которых при увеличении изображений природных объектов проявляются новые детали, действительно этим объектам присущие (например, когда при увеличении фотографии скалы она приобретает новые, более мелкие неровности).

4. Оценка коэффициента сжатия и вычислительных затрат

Размер данных для полного определения ранговой области рассчитывается по формуле:

где Nb и Mb - количество бит, необходимых для хранения каждой из координат, рассчитываются по следующим формулам:

где V и H - вертикальный и горизонтальный размеры изображения, Size - размер доменного блока, Step - шаг поиска доменной области.

Для хранения преобразования T необходимо 3 бита.

Для хранения U и V необходимо 9 и 7 бит соответственно.

Для примера возьмём изображение размером 256x256 пикселей, и будем исследовать доменную область с шагом 4 пикселя.

Nd = Md = (256 - 8 + 1) / 4 = 62

Nb = Mb = CEIL (log 2 62) = 6

Z = 12 + 3 + 6 + 6 = 27

Коэффициент сжатия S составляет

S = (8 * 8 * 8) / 27 = 19

Коэффициент сжатия не так велик, как хотелось бы, но и параметры сжатия далеко не оптимальны, и коэффициент может увеличиваться в разы.

А теперь оценим вычислительную сложность данного алгоритма. На этапе компрессии мы должны перебрать все доменные области - 1"024 штуки, для каждой - все ранговые - 58"081 штука (при шаге 1), а для каждой из них, в свою очередь, - все 8 преобразований. Итого получается 1"024 х 58"081 х 8 = 475"799"552 действия. При этом эти действия не тривиальны и включают несколько матричных операций, которые, в свою очередь, включают операции умножения и деления чисел с плавающей точкой.

К сожалению, даже на современном ПК (а именно для таких машин хотелось реализовать алгоритм) понадобится недопустимо много времени для того, чтобы сжать изображение размером всего 256 х 256 пикселов. Очевидно, что рассмотренный алгоритм нуждается в оптимизации.

BC/NW 2008, №1 (12): 4

BC/NW 2008, №2 (13): 11 .1

ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБОВ УСКОРЕНИЯ МЕТОДА ФРАКТАЛЬНОГО СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Калязин Н.А., Гольцов А.Г.

(Москва, Московский энергетический институт(технический университет), Россия)

Метод фрактального сжатия изображений представляет собой метод сжатия с потерями. Это означает, что в общем случае восстановленное изображение не совпадает с исходным. Метод фрактального сжатия основан на устранении избыточности информации, возникающей в изображениях вследствие их самоподобия. Проще говоря, изображение содержит информацию о себе самом.

Рассматриваемый метод имеет ряд преимуществ, среди которых:

- потенциально высокая степень сжатия,

- малое время распаковки,

- возможность восстанавливать лишь часть изображения,

- возможность восстанавливать изображение произвольного размера,

- широкие возможности в выборе параметров сжатия.

Метод ярко выраженно асимметричный. Это означает, что время сжатия существенно больше времени распаковки. Коэффициент симметричности метода (отношение времени сжатия ко времени распаковки) может достигать 1000-10000 . Таким образом, задача ускорения работы метода фрактального сжатия весьма актуальна.

Рассмотрим принципы, лежащие в основе метода.

Ключевым понятием метода является система итерируемых функций (IFS , Iterated Function System ), возможность применения которых к проблеме сжатия изображений впервые была исследована Майклом Барнсли .

IFS представляет собой набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (координата по оси X , координата по оси Y , яркость).

Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал Барнсли в . Им введено понятие фотокопировальной машины (рис. 1), состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран и обладающих следующими свойствами:

- линзы могут проецировать часть изображения произвольной формы в любое другое место нового изображения,

- области, в которые проецируются изображения, не пересекаются,

- линза может менять яркость и уменьшать контрастность,

- линза может зеркально отражать и поворачивать свой фрагмент изображения,

- линза должна масштабировать (причем только уменьшая) свой фрагмент изображения.

Рис.1. Машина Барнсли

Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. Одна итерация такой машины заключается в том, что по исходному изображению с помощью проектирования строится новое, после чего новое берется в качестве исходного. Утверждается, что в процессе итераций получится изображение, которое перестанет меняться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз, и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется «неподвижной точкой» или аттрактором данной IFS . Теория гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS .

Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в изображении. Благодаря самоподобию при любом увеличении наблюдается сложная структура изображения. Таким образом, система итерируемых функций задает фрактал (самоподобный математический объект дробной размерности).

Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS : «треугольник Серпинского» (рис.2) и «папоротник Барнсли» (рис. 3).

Рис. 2. «Треугольник Серпинского»

Рис.3. «Папоротник Барнсли»

«Папоротник Серпинского» задается тремя, а «папоротник Барнсли» - четырьмя аффинными преобразованиями (или «линзами»). Каждое преобразование кодируется несколькими байтами, в то время как изображение, построенное с его помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Фактически, фрактальная компрессия – это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований.

Рис. 4. Самоподобные области в изображениях

,(1)

где a , b , c , d , e , f – действительные числа и , называется двумерным аффинным преобразованием.

Преобразование , представимое в виде

,(2)

где a , b , c , d , e , f , q , r , s , t , u – действительные числа и , называется трехмерным аффинным преобразованием.

Пусть - преобразование в пространстве X . Точка , такая что , называется неподвижной точкой (аттрактором преобразования).

Преобразование в метрическом пространстве ( X , d ) называется сжимающим, если существует число s : , такое, что

.(3)

Теорема о сжимающем преобразовании.

Пусть - сжимающее преобразование в полном метрическом пространстве ( X , d ). Тогда существует в точности одна неподвижная точка этого преобразования и для любой точки последовательность сходится к .

Изображением называется функция S , определенная на единичном квадрате и принимающая значения от 0 до 1 или .

Пусть трехмерное аффинное преобразование записано в виде

(4)

и определено на компактном множестве декартова квадрата . Тогда оно переведет часть поверхности S в область , расположенную со сдвигом ( e , f ) и поворотом, заданным матрицей

.(5)

При этом если интерпретировать значения функции как яркость соответствующих точек, она уменьшится в p раз (преобразование должно быть сжимающим) и измениться на сдвиг q .

Конечная совокупность W сжимающих трехмерных аффинных преобразований , определенных на областях , таких, что и , называется системой итерируемых функций (IFS ) .

Системе итерируемых функций однозначно ставится в соответствие неподвижная точка – изображение. Таким образом, процесс компрессии заключается в поиске коэффициентов системы, а процесс декомпрессии – впроведений итераций системы до стабилизации полученного изображения (неподвижной точки IFS ).

В дальнейшем области будут именоваться блоками, а области - доменными (рис. 5).

Рис. 5. Перевод доменного блока в ранговый

Проиллюстрируем итерационный процесс восстановления ранее сжатого изображения (рис. 6).

Рис. 6. Исходное изображение

На каждой итерации производится применение IFS к текущему изображению. На рис. 7. показаны изображения, соответствующие каждой из 10-ти первых итераций (включая 0-ю).

Рис. 7. Процесс восстановления изображения

Для оценки качества восстановленного изображения применяется количественная оценка искажений, называемая пиковым соотношением сигнал/шум (PSNR – peak signal - to - noise ratio ) . Она рассчитывается по следующим формулам:

(6)

(7)

где и - количества столбов и строк, M – максимальное значение яркости пикселя, - пиксельное значение исходного изображения в i -ой строке и j -м столбце, а - пиксельное значение декодированного изображения, rms – погрешность, вычисленная по методу наименьших квадратов.

Для выявления наиболее узких мест (с точки зрения быстродействия) мною был реализован простейший алгоритм фрактального сжатия.

Опишем более подробно последовательность действий, выполняемых при сжатии изображения.

Исходное изображение разбивается на некоторое количество ранговых блоков. В общем случае ранговые блоки могут быть любой формы и размера, однако должны покрывать все изображение и не должны пересекаться.

Кроме того, исходное изображение разбивается на доменные блоки. В общем случае доменные блоки также могут быть любой формы, могут пересекаться, но обязательно должны быть больше ранговых блоков.

Далее, для каждого из ранговых блоков находится наиболее подобный ему доменный блок. При этом доменный блок может подвергаться аффинным преобразованиям, то есть может поворачиваться на любой угол, зеркально отражаться, у него могут изменяться яркость и контрастность.

В выходной файл для каждого рангового блока записываются координаты соответствующего ему доменного блока, а также коэффициенты аффинных преобразований, которые необходимо произвести над доменным блоком, чтобы он стал максимально подобен этому ранговому блоку.

В таком виде задача не имеет решения, так как для каждого из ранговых блоков необходимо перебрать бесконечное количество разнообразных по размерам и форме доменных блоков. Поэтому на практике накладываются довольно жесткие ограничения, позволяющие сократить количество перебираемых доменных блоков . Разумеется, при этом страдает качество восстановленного изображения. Приведем ограничения, наложенные при реализации алгоритма:

1. Все блоки являются квадратами со сторонами, параллельными сторонам изображения. Таким образом, изображение равномерной сеткой разбивается на набор ранговых блоков (рис. 8а).

2. При переводе доменного блока в ранговый уменьшение размеров производится ровно в 2 раза. Это существенно упрощает как компрессор, так и декомпрессор, так как задача масштабирования небольших блоков является нетривиальной.

3. Доменные блоки берутся «через точку» и по вертикали, и по горизонтали (рис. 8б).

4. При переводе доменного блока в ранговый поворот квадрата возможен только на 0, 90, 180 и 270 градусов. Также допускается зеркальное отражение. Общее число возможных преобразований (считая пустое) – 8.

Рис. 8. Принцип разбиения изображения на ранговые (а) и доменные блоки (б)

Степень подобия рангового и доменного блоков я вычислял при помощи следующей формулы:

,(8)

где r и d – соответственно значения яркостей пикселей рангового и доменного блоков, M – математическое ожидание значений яркостей соответствующего блока.

Эта формула основана на расчете коэффициента корреляции.

При восстановлении исходного изображения была использована формула

,(9)

где r – значение блока восстанавливаемого изображения, d – значение блока преобразовываемого изображения, p – изменение контраста блока, q – сдвиг по яркости блока.

Чтобы найти коэффициент p , я использовал квадратный корень из отношения дисперсий рангового и доменного блоков:

,(10)

где D – дисперсия значений яркости пикселей соответствующего блока; для тех доменных блоков, у которых msr > 0, и формулу

(11)

для тех доменных блоков, у которых msr < 0.

Чтобы найти коэффициент q , я использовал формулу:

.(12)

Очевидно, что для того, чтобы найти для каждого из ранговых блоков наиболее подобный ему доменный блок, необходимо выполнить гигантский объем вычислений.

Предположим, что n x m - размер исходного изображения в пикселях, rsz – сторона рангового блока.

Тогда количество ранговых блоков в изображении будет

,(13)

а доменных (помня, что сторона доменного блока всегда вдвое больше стороны рангового)

.(14)

Таким образом, необходимо произвести rnum x dnum поблочных сопоставлений, что уже для изображения размером 512 x 512 и стороной рангового блока 8 пикселей составляет 251 920 384. Не стоит забывать, что в рассматриваемом нами алгоритме в каждом таком сопоставлении необходимо организовать цикл по всем пикселям блока для расчета математического ожидания и дисперсии. Более того, время, затрачиваемое на сжатие изображения в градациях серого, в простейшем случае утраивается, если речь идет о цветном изображений (так как для представления информации о яркости и цвете пикселя требуется как минимум три составляющих).

Теперь очевидно, почему множество исследований направлено на ускорение метода фрактального сжатия.

Существует два основных направления таких исследований :

Сокращение числапоблочных сопоставлений,

Ускорение сопоставлений путем повышений производительности вычислений.

К первому направлению относятся методы:

Выделение особенностей доменных блоков,

Классификация доменов.

Второе направление подразумевает использование высокопроизводительных систем и параллельных вычислений.

Метод фрактального сжатия, на мой взгляд, легко подвергается распараллеливанию. Это следует из того, что каждый ранговый блок изображения обрабатывается независимо от других. Следовательно, в идеальном случае, можно достичь коэффициента ускорения, близкого к числу ранговых блоков (разумеется, при возможности запустить вычислительных процессов по числу ранговых блоков).

Основываясь на данной предпосылке, я попытался написать параллельную программу на языке Си с использованием библиотеки MPI (Message Passing Interface ). Для эксперимента использовался вычислительный кластер МЭИ, имеющий в своем составе 16 узлов, каждый из которых состоит из двух двухъядерных процессоров AMD Opteron x86_64 , 2.2 ГГц . Пиковая производительность кластера составляет 281.6 GFlop/s.

Оказалось, что для реализации параллельного алгоритма необходим лишь один вызов функции широковещательной рассылки данных. Это означает, что рассматриваемая задача крайне слабосвязная, а значит, на пересылки данных между процессами тратится минимальное количество времени.

Замер времени производился лишь в той части программы, которая непосредственно реализовывала алгоритм сжатия. То есть операции чтения из файла исходного изображения и записи в файл результатов оказались вне учета времени.

На рис. 9 представлены зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (рис. 9а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (рис. 9б) для изображения с разрешением 256 x 256 пикселей. Из диаграммы на рис. 9а следует, что характер зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов не меняется при изменении значения стороны рангового блока. Из диаграммы на рис. 9б следует, коэффициент ускорения не зависит от значения стороны рангового блока и численно весьма близок числу параллельных процессов. Последнее наблюдение подтверждает тезис о том, что метод фрактального сжатия хорошо поддается распараллеливанию.

Рис. 9. Зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (б) для изображения с разрешением 256 x 256 пикселей. Линии на каждой из диаграмм соответствуют различным значениям стороны рангового блока

На рис. 10 представлены зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (рис. 10а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (рис. 10б) при стороне рангового блока равной 4 пикселя. Из диаграммы на рис. 10а следует, что характер зависимости времени сжатия от числа процессов не меняется при изменении разрешения сжимаемого изображения. Из диаграммы на рис. 10б следует, что коэффициент ускорения не меняется и от разрешения сжимаемого изображения. Это говорит о том, что фрактальный метод сжатия одинаково хорошо распараллеливается для изображений всех размеров.

Рис. 10. Зависимости времени сжатия изображения от числа параллельных процессов (а) и коэффициента ускорения от числа параллельных процессов (б) при стороне рангового блока равной 4 пикселя. Линии на каждой из диаграмм соответствуют разрешениям исходного изображения

В дальнейшем планируется исследование методов ускорения, основанных на сокращении числапоблочных сопоставлений, а также возможность их распараллеливания. Известно , что выделение особенностей доменных блоков и классификация доменов существенно сокращают время сжатия сами по себе – параллельный алгоритм, включающий в себя эти методы ускорения, выглядит еще более перспективным. Однако написание такого параллельного алгоритма может стать довольно сложной задачей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ватолин Д. С. Тенденции развития алгоритмов сжатия статических растровых изображений // Открытые системы сегодня. - 1995. - № 8 (29). – с. 25–30.

2. Barnsley Michael F. Fractal Image Compression, AK Peters, Ltd., 1993.

3. Barnsley Michael F. Fractals Everywhere, second edition, Academic Press, San Diego , 1993.

4. Jacquin A. Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated Contractive Image Transformations // IEEE Transactions on Image Processing. 1992. Vol . 1, N 1. P . 18–30.

5. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. – 384 с.

6. Уэльстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии: Учебное пособие. – М.: Издательство Триумф, 2003, - 320 с.

7. Информационно-аналитический центр parallel . ru , “Кластерные установки России и СНГ”,http://parallel.ru/russia/russian_clusters.html.

Android